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退化した線形偏微分方程式

 未知数 x.gif に対して,たとえば latex math image という条件(等式)を考え,この条件を満たす x.gif を求めようとするとき,この等式を「(x.gifを未知数とする)方程式」と呼び,この方程式を満たす数 x.gif を「」と呼びます.

 同様に,未知関数 latex math image に対して,導関数 latex math image を含んだ等式,たとえばlatex math image という等式を考え,この条件を満たす latex math imageを求めようとするとき,この等式を「(latex math imageを未知関数とする)微分方程式」と呼び,この方程式を満たす関数 latex math image を「」と呼びます.
 微分方程式は大抵の場合解が無数にありますので,この方程式以外にいろいろな条件をつけて解が一つになるようにするのが普通です.その代表は「初期条件」で,特定の x.gif の値 latex math image における 解 latex math image の値 latex math image を前もって指定する条件です.たとえば,latex math image, latex math image 等です.
 高階の導関数(latex math image, latex math image, ...) を含んだ
   latex math image ; latex math image, latex math image--------- (1)
等といったものも考えられます.

 方程式の中で最高階の導関数の部分,たとえば (1) の latex math image の部分,をこの方程式の主部と言い,普通はここが一番大事なところになります.
 ここがたとえば latex math image のようになっていると,latex math imagelatex math image がなくなることになり,困ったことになることが多いのです.こういう場合,方程式が退化しているといいます.この例では「latex math image で退化している」わけです.

 ここまでの話では,未知関数の独立変数が1つ(x.gif)でしたが,もっと多くの独立変数を持つ未知関数に対してその偏導関数を含んだ方程式が偏微分方程式です.それに対して,上のように独立変数が1つの場合は「常微分方程式」と言います.たとえば,未知関数 latex math image に対する方程式
   latex math image
はとても有名な偏微分方程式(波動方程式)です.こういった偏微分方程式に対しても,初期条件などいろいろな付加条件を考えて解を考えます.
 最高階の部分が「消えてしまう」ような方程式が「退化した」方程式ですが,偏微分方程式の場合,消え方にもいろいろあり,上で述べた付加条件との兼ね合いが重要になります.たとえば
   latex math image
は,latex math image で初期条件を与える場合には,一番大事な latex math image に関する偏微分の部分が消えることになり,ほかの2階の偏微分は消えてはいませんが,「latex math image で退化している」と言います.

 私の研究は,「線形」と呼ばれるとてもよい性質を持った偏微分方程式で,超曲面で退化したものを中心に,解全体のなす集合の構造や特別な解の存在・非存在などを理論的に考察しています.(「超曲面」というのは3次元空間内の「曲面」を多次元に拡張した概念です.)